第４章　１デッキの時間

第１デッキの時間

　プレイヤーは1デッキの間にどれくらいカードを引くか検討してみる。
　モデルゲームとして、独国vs英国(米国)のUpFront対戦を考えてみる。これはグループを4人と6人(＋米国はモラル1の兵士2名)で構成できるため、後の模式化が簡単になるためである。まず最初にアクションデッキの内容の残り(Table 1.2、Table 1.6以外)をTable 4.1、Table 4.2示す。

Table 4.1　国別アクションカード期待数

国籍	煙幕期待数	非機能期待数
独	81.0	40.5
米	32.4	23.1
露	0.0	40.5
日	0.0	40.5
英	32.4	81.0
仏	81.0	40.5
伊	0.0	9.0

Table 4.2　その他のカード期待数

カード	期待数
移動(側面)	40.5
移動(渡河)	27.0
地形(TEM-1+)	6.8
地形(妨害)	23.1
地形(TEM-2+)	13.5
地形(非機能)	23.1
狙撃兵	40.5

　米英国は2アクションするか、2枚捨て札をすることが一般的と思われる。一方の独国は平均的には1アクション、1枚捨て札をすることになると考えられる。つまり両国とも平均すると1ラウンドに2枚デッキから引くことになる。隠ぺいを使った場合1枚手札は補充を受けるが、この部分は、狙撃兵射撃、狙撃兵チェック、渡河チェック、修理、塹壕などに用いるRNC/RPC同様無視する。同様に途中で取り除く地形カードも無視する。

　1デッキ目の大半は遠距離での行動が中心となる。任意の連続する6ラウンドに注目すると、独国12枚、英米国12枚カードを引くと考えられる。この中には射撃カード4枚、回復2枚、移動2枚、地形3枚、隠ぺい1枚が期待できる(少数点以下四捨五入)。
相対距離1〜2では6人の射撃グループの火力は8〜10火力程度なので、射撃カードの50%が射撃可能である。遠距離では人数の多いグループを目標とする方が適当なので、射撃可能カード1枚毎に6枚のカードがRNCとして引かれる。
また、実行可能なアクションは射撃2回、回復2回、移動2回なので、6回アクションが可能なので、最初の1アクション、1枚捨て札、2アクションするか、2枚捨て札をするの過程が実行可能であることが分かる。以上の結果より、6ラウンドの間に、RNCとして12枚のカードと隠ぺいの補充として1枚カードが引かれることが推測できる。
　両軍合わせて、50枚のカードを使います。1デッキは162枚なので、19.5ラウンドあることが期待できる。各プレイヤーは39枚カードを引くと考えられる。

　以上の論理は計算に射撃カードしか入れていないので、国籍による違いは発生しない。例外は捨て札1枚の仏国と捨て札枚数に制限のない露国です。対伊国は射撃目標が多いためRNCとして引く枚数が多くなり1デッキ当たりのラウンド数が減少(-1.5ラウンド位)するが、影響は小さい。

　仏国の場合、2アクションするためには合計4枚引く必要がある。前記の結果より、2枚引くと1枚アクション可能なカードがあることが予測できるため、アクション-捨て札-捨て札-アクションのローテンションが期待できる。この場合6ラウンドの間に、8枚のカードを引く。先ほどと同じ12枚引くには9ラウンド必要となる。6と9の最小公倍数より18ラウンドを基準にすると、仏国は50枚カードを引き、対戦国は75枚カードを引くことになる。この結果18ラウンドで125枚必要となり、1デッキの間に23ラウンドあることが期待でき、仏国は31枚、対戦国は46枚カードを引くと考えられる。

　露国の場合は2枚引くと1アクション可能なカードが引くことが期待できるため、次に3枚捨て札すると考えれる。3枚捨て札すると1.5枚アクション可能なカードが引くことが期待できるため、次のラウンドで2アクションすると手札の中は1.5枚使えるカードがあることになる。ここで2枚捨て札をすれば日本と同じですが、3枚捨てることで、2アクション-3枚捨て札サイクルがつくられる。露国プレイヤーは0.5枚のアクション可能カードとして何を捨てるかが、重要になる。露国の場合、6ラウンドで15枚カードを引くことが期待できる。12枚カードを引くの必要な時間は5ラウンドなので、30ラウンドを基準にする。露国は150枚のカードを引き、対戦国は125枚のカードを引くため、275枚のカードが必要となる。1デッキ162枚なので1デッキで18ラウンドあることが期待でき、露国は45枚、対戦国は36枚カードを引くことが期待される(仏vs露はありえませんが、期待値的には21ラウンド、仏28枚、露52枚引くことが期待されます)。　Table 4.3に以上の結果をまとめて示す。

Table 4.3　１デッキ目に期待できるアクションカードの種類と枚数

カード種類	独	独vs仏	独vs露	英	英vs仏
低火力射撃	6.5	7.5	6.0	6.5	7.5
射撃	11.5	13.5	10.6	11.5	13.5
移動	6.5	7.7	6.0	6.5	7.7
移動(側面)	1.0	1.1	0.8	1.0	1.1
移動(渡河)	1.4	1.7	1.3	1.4	1.7
隠ぺい	3.4	4.0	3.1	3.4	4.0
回復	6.0	7.1	5.5	6.0	7.1
煙幕	0.5	0.6	0.4	1.2	1.4
狙撃兵	1.0	1.1	0.9	1.0	1.1
地形(TEM-1+)	5.7	6.8	5.3	5.7	6.8
地形(TEM-2+)	2.9	3.4	2.7	2.9	3.4
地形(妨害)	1.7	2.0	1.6	1.7	2.0
地形(非機能)	1.7	2.0	1.6	1.7	2.0
非機能	1.0	1.1	0.9	0.5	0.6
合計	39.	46.	36.	39.	46.

カード種類	伊	伊vs仏	伊vs露	米	米vs仏
低火力射撃	6.5	7.5	6.0	6.5	7.5
射撃	11.5	13.5	10.6	11.5	13.5
移動	5.7	6.8	5.3	5.7	6.8
移動(側面)	1.0	1.1	0.8	1.0	1.1
移動(渡河)	1.4	1.7	1.3	1.4	1.7
隠ぺい	2.7	3.1	2.4	3.1	3.7
回復	4.6	5.4	4.2	5.6	6.6
煙幕	0.0	0.0	0.0	1.2	1.4
狙撃兵	1.0	1.1	0.9	1.0	1.1
地形(TEM-1+)	5.7	6.8	5.3	5.7	6.8
地形(TEM-2+)	2.9	3.4	2.7	2.9	3.4
地形(妨害)	1.7	2.0	1.6	1.7	2.0
地形(非機能)	1.7	2.0	1.6	1.7	2.0
非機能	4.3	5.1	4.0	1.7	2.0
合計	39.	46.	36.	39.	46.

カード種類	日/露	日vs仏	日vs露	露	仏
低火力射撃	6.5	7.5	6.0	7.5	5.2
射撃	11.5	13.5	10.6	13.2	9.1
移動	7.2	8.5	6.7	8.3	5.2
移動(側面)	1.0	1.1	0.8	1.1	0.8
移動(渡河)	1.4	1.7	1.3	1.7	1.1
隠ぺい	4.6	5.4	4.2	5.3	2.7
回復	5.1	6.0	4.7	5.8	4.8
煙幕	0.0	0.0	0.0	0.0	0.4
狙撃兵	1.0	1.1	0.9	1.1	0.8
地形(TEM-1+)	5.7	6.8	5.3	6.6	4.6
地形(TEM-2+)	2.9	3.4	2.7	3.3	2.3
地形(妨害)	1.7	2.0	1.6	1.9	1.3
地形(非機能)	1.7	2.0	1.6	1.9	1.3
非機能	1.0	1.1	0.9	1.1	0.8
合計	39.	46.	36.	45.	31.

初期地形、狙撃兵、故障の影響

　これまでの、結果を元に、もう少し、モデルを詳細化する。これまで同様、米英国は、2アクションするか、2枚捨て札をすると考え、独国は平均的には1アクション、1枚捨て札程度に収束すると考える。露日では捨て札は３枚になる場合があるが、３アクションするには手札の枚数が少なく、１アクションしかできない場合もあるので、平均的には２アクションするか、２枚捨て札する、収束すると考える。伊国は条件が悪いが露日に準ずる。仏国は捨て札１枚のため、２アクションするのが目標となる。非機能を平地にして処理するなどすることで、２アクションを維持できる可能性がある。仏軍だけは例外的に、効率良く手札が回った場合について扱う。ここでは、Table 4.1、4.2のデータを元に第１デッキのカードの流れを検討する。

　最初にセットアップを検討する。最初に各プレーヤーは手札の枚数だけデッキから引く。手札のサイズに合わせて分けると、Cチーム:ソ連、日本、伊国の4枚、Bチーム:独国、英国の5枚、Aチーム:米国、仏国の6枚である。次に手札の中から地形を配置する。アクションカードの中身について確認する。Table 1.2、1.6、 4.1、4.2は各カードを1枚得るを期待するために引くカードの枚数である。セットアップ時にTEM-2以上の地形を配置する可能性はTable 4.2から分かるように低い(TEM-2地形なら距離チット1に移動後に配置する)。また湿地(Marsh)は敵に配置するのに適当な地形である。茂み(Bruh)、丘(Hill)、障壁( Wall)と湿地のセットアップ地形は, 11.6枚で1枚期待できる。手札の中にセットアップ地形は、Cチームで0.3枚、Bチームで0.4枚、Aチームで0.5枚期待できる。つまり、Aチームはデッキから6.5枚、Bチームは5.4枚、Cチームは4.3枚、第1デッキから引くことでセットアップが終了する。このときに引かれるカード枚数をSとする。
　先に検討したように、各国軍は１プレーヤーターンに２枚のカードをデッキから引くので、第１デッキのプレーヤーターン数をＮとすると、デッキのRNCとして使われたカードの枚数は162-S-4Nとなる。

　ゲーム中の移動、回復、地形配置は、手札のアクションであり、余分なデッキを消費しないので、内容の検討は、無視する。
　ゲーム中に射撃が発生すると、RNCとして６〜７枚が引かれる。ほとんどの場合、相対距離１〜２ではPF9以下の射撃カードしか使えないので使用可能な射撃カードは(4N/6)枚で、１度の射撃が引かれるRNCを6枚と考えると、4N枚のRNCが引かれる。しかし１デッキ目は、相対距離０の間に引かれたFP4〜FP9の射撃カードは捨て札になることがある、また相対距離１〜２の間でFP3以下の射撃カードは他射撃カードと組み合わせて使われることもある。この両方の影響をFP3以下の射撃カードが引かれるのと同程度と近似すると、RNCとして引かれる枚数は{(4N/6)-(4N/16.2)}x6=2.52Nとなる。
　また、射撃に対して隠ぺいカードを用いる場合がある。隠ぺいカードは国籍の違いが大きいカードであるが、近似的に10枚に1枚とすると、補充として引かるカードも枚数は(0.4N)枚である。

　狙撃兵は捨て札1枚毎にRNC/RPCとして２枚のカードを引きます。手札に狙撃兵が含まれる期待値は(4N/40)枚なので、狙撃兵の判定でRNC/RPCとして引かれるカードは(0.2N)枚。50%の確率で狙撃兵チェックを行と、狙撃兵チェックRNCとして(0.1N)枚が使われる。狙撃兵関係で合計(0.3N)枚を消費する。

　赤6のRNCでも2枚減る。赤6のRNCは1.85%なので、射撃に用いたRNCの2.52N枚の3.7%に対応する。また修理成功の確率は64%(ライフルの場合)なので、修理に1.6枚のRNCを使う。赤6のRNCに伴うRNC/RPCの消費は(0.15N)枚になる。渡河でもRNCを使う可能性があるが、渡河カードを使うことで代表する。
　以上に消費結果をまとめると、デッキはＮプレーヤーターンの間に(7.37N+S)枚消費される。Sの値は6.5, 5.4, 4.3なので、Sの違いは0.15ターンに対応する。162枚のデッキで実行可能なNは、N=21.25±0.15となる。１デッキの時間はおおよそ21ターンとなる。もっとも効率良く射撃カードが回った場合でもN=17.4なので、(19±2)ターンはあることが期待できる。

塹壕構築の影響

　最後に、塹壕構築の試みについて検討する。毎回、全グループが塹壕構築を試み、失敗したとすると、1ターン毎に4〜5枚のデッキを消費することになるように見える。実際は、手札の1アクションの代わりに１枚RNCを引くことになるだけなので、アクションと補充の関係は崩れないことが分かる。3グループの国は、余分に塹壕構築を試みれる。ほとんどの国にとっての第3、４グループはおまけの盾グループであり、塹壕構築に成功した後、移動することは、ほとんど無いと考えられる。そう考えると、RCN=0の確率は11%であり、9回の試行で構築できることが期待できる。つまり、塹壕構築の影響は1デッキ当たり1.22ターンの減少となり、１デッキの時間はおおよそ(18.5±2.5)ターンとなる。
　ここで、注意すべきは、独国と露国の国別特徴である。独国はアクションの有無に関係なく1枚の捨て札となっているため、マクロ的にデッキ消費の観点からすると、2アクション1枚捨て札と同じに見える点である。これは、このモデルで考えている平均、1アクション1枚捨て札よりデッキ消費が1枚大きくなるため、単純に、(8.37N+S)となり、2.55ターン、1デッキの時間を短縮できる。
また、露国の場合も、(4ー捨て札)まで塹壕構築を試みれることから、マクロ的にデッキ消費の観点からすると、3アクション、1アクション2枚捨て札と同じに見える点である。露国は3グループ持つ他の国より、塹壕を捨てる可能性が高いので、デッキ消費を優先すると考えると、独国と同じ効率になり、第1デッキの時間はおおよそ(17±3)ターンとなる。独国vs露国の場合、(16.5±4)ターンまで1デッキの時間を短縮される可能性があることが分かる。

　以上のように、手札となるカードは4N枚、射撃RNCのカードは(3.26±0.74)N枚、他の理由で使われるカードは(1.94±1)N枚である。第１デッキの時間は(18.5±2.5)ターンであり、±2ターンの幅は射撃機会、±0.5ターンは塹壕構築の意思に影響される。独国と露国は塹壕構築により、更に±1ターン分の時間に影響を与えることができる。

第２デッキ以降の時間

　まず、第1デッキと第2デッキ以降では、デッキから取り除くカードがある。これまでの計算から、取り除くカード１枚につき0.1ターン短くなることも分かる。

　次に第２デッキ以降の展開であるが、相対距離１〜２での撃ち合いが続く場合、火力が第１デッキと同程度なので、時間は第１デッキと同程度の(18.5±2.5)ターンになる。独国と露国は塹壕構築により、更に±1ターン分の時間に影響を与えることができることも変わらない。

　もう１つの展開は、相対距離3以上の近距離にグループが居る場合である。相対距離３に前進した場合は２通りの展開が考えられる。１つは自軍および敵軍の射撃グループが前のデッキで人員を大きく減らしたため、火力維持のために前進する場合である。もう１つは突撃グループの勝利への前進である。単純化すると、両軍とも相対距離３でも大きな火力が得れない場合と、一方の軍は大きな火力を得れるが、他方の軍は大きな火力を得れない場合である。
　両軍とも相対距離３でも大きな火力が得れない場合は、第１デッキと展開に大きな差は発生しない。但し、相対距離が近いことによりFP10以上の射撃カードが使える場合が発生する。FP12以下を射撃可能、目標グループの人数を５と考えると、使用可能な射撃カードは(4N/4.9)枚、引かれるRNCは(4N/4.9)x5=4.08Nとなる。また赤6RNCの影響は0.09N枚増加する。以上の結果より時間N=17.5となる。目標グループの人数を４とするとN=19.3になる。以上の結果より実際の時間は(18.4±1)ターンになると考えられる。

　一方の軍は大きな火力を得れるが、他方の軍は大きな火力を得れない場合の解析は難しい。射撃の結果KIAが発生し易いので、目標のサイズがデッキ中に大きな幅を持つからである。また目標サイズが減少しないと、シナリオによっては一方の勝利となるこ場合もある。このことから相対距離３以内のグループの平均人数を３人、相対距離１〜２のグループを６人と考え、FP10〜FP16の射撃カードを近距離にいる目標に使用すると仮定する。また小さい火力の射撃カードは組み合わせるより、十時射撃に使われると考える。FP10〜FP16の射撃カードは10.8枚に1枚存在する。これにより、射撃のRNCは0.55N枚増加し、赤6のRNCの影響は0.02N枚増加する。この結果はN=16.5であった。侵入や白兵戦が発生する可能性もあるので、もう少し短くなる可能性があるので、おおよそ16ターンといえる。

　第２デッキの時間は展開によるが、基本的な時間は(18.5±3)ターンと推定できる。これに、塹壕構築の意思の影響を加えると、(18.0±3.5)〜(17.5±4)ターンとなる。　第１デッキは、第２デッキ以降より、0.5ターン長いが、平均的には、１デッキ当たり約18ターンあると考えてよい。これはリプレイ記事のターン数と良く一致している[1-4]。

UpFrontにおける標準偏差

　この章の最後に、UpFront標準偏差についてコメントしておく。誤差がガウスの誤差関数に従い、近似的に半値幅が積分幅と等しいと仮定すると、標準偏差σは枚数の多い射撃カード、移動カードで1.8枚、少ない狙撃兵カードでも1.7枚となる。
　1デッキ目は、信頼性を50%とすると誤差は±1.2枚、信頼性90%では±3.0枚、信頼性99%の場合は±4.6枚となる。
　2デッキ目以降は標準偏差が1.3倍に増えるため、信頼性を50%としても誤差は±1.6枚、信頼性90%で±4.0枚、信頼性99%では±6.1枚となる。
　Up Frontのようなカードゲームの場合、1度引かれたカードは再登場しない。本論文ではこの部分を近似(省略)している。1度引かれたカードが再登場しないことを考えると、偏差はもう少し大きくなることを理解いておいて欲しい。

References

[1] J. Saito, et. al. : TACTICS Mgz. Jpn. No. 19, pp. 58 (1985), Scenario H : SR vs GR.
[2] D. Greenwood, R. A. Martin and K. Whitesell : General 21, pp. 18(No. 1) (1984), Scenario A : GR vs US.
[3] J. Vurnett, R. Whaley and R. A. Martin :General 22, pp. 13 (No. 2) (1985), Scenario R : US vs JP.
[4] L. Moore, S. Harvester and R. A. Martin : General 26, pp. 20 (No. 5) (1990), Scenario B : IT vs FR.

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2. UP FRONT
第３章　グループ編成
第５章　手札／捨て札と連続性
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